Официальные извинения    1   4317  | Становление корпоративизма в современной России. Угрозы и возможности    90   9378  | «Пролетарская» Спартакиада 1928 г. и «буржуазное» Олимпийское движение    421   24192 

Гармония, эволюция, прикладная математика и междисциплинарные подходы

Постановка проблемы

Во всём однообразный смысл

И совершается свобода:

Не воплощает ли природа

Гармонию высоких числ?

О. Мандельштам

 Эйнштейн писал, что развитие любой науки требует внешнего оправдания и внутреннего совершенства. Под первым он понимал результаты опытов и наблюдений, требующие объяснения, а сейчас всё чаще понимают и «социальный заказ» - ответы на вопросы, которые ставит общество перед учеными. Под вторым – следование логике развития самой науки, решения проблем, которые возникают в результате внутринаучной рефлексии. В этом смысле математика кардинально отличается от физики, химии или биологии кажущимся отсутствием внешнего оправдания.

В силу этого остается несколько трактовок математического знания. Первая связана с развитием идей научной школы Пифагора Самосского (ок. 580 г. до н.э. – ок. 500 г. до н.э.), настаивавшей на целостном восприятии мира и связывающей математику с музыкальной гармонией, с астрономией («музыкой небесных сфер»), с нумерологией и теологией. По пифагорейскому учению, числа подобны богам, чистым и свободным от изменчивости окружающего нас мира, единения с которыми можно достигнуть при помощи разных техник медитации.

В Новое время эти идеи привели И.Канта (1724–1804) к представлениям об априорных формах чувственности – пространстве и времени, постижение которых придает объективную значимость идеальным математическим конструкциям.

Платон (ок. 428 г. до н.э. – ок. 384 г. до н.э.), на воротах академии которого было начертано «Негеометр да не войдет», придавал особое значение выпуклым многогранникам, все грани которых являются одинаковыми многоугольниками со сторонами равной длины и углами равной величины, в вершинах которых сходится одинаковое число ребер – платоновым телам – тетраэдру, кубу, октаэдру, икосаэдру и додекаэдру. Великий философ, описавший их в трактате «Тимей» (ок. 360 г. до н.э.), считал, что они выражают сущность четырех основных элементов, составляющих космос. Тетраэдры соответствуют огню, октаэдры – воздуху, кубы – земле, икосаэдры – воде. Додекаэдр, по идее мыслителя, был использован Богом для размещения созвездий на небесах.

Но есть ли другие подобные многогранники и связанные с ними первоосновы бытия? В попытке ответить на этот вопрос Евклид Александрийский (ок. 325 г. до н.э. – ок. 270 г. до н.э.) создал «Начала» - 13 книг, охватывающих планиметрию, стереометрию, учение о пропорциях и теорию чисел. Трудно переоценить выдающееся эстетическое значение этого основополагающего произведения. Философ и логик Бертран Рассел писал: «В возрасте одиннадцати лет я начал изучать Евклида с моим старшим братом в роли учителя. Это было одно из важнейших событий в моей жизни, столь же ослепительное, как первая любовь. Я не представлял, что в мире может существовать что-либо настолько прекрасное» [14: 52].

Заметим, что «платоновская» и «пифагорейская» линия исследований развиваются и сейчас. Известный химик, академик А.Л.Бугаченко, пишет: «В химии есть собственная, внутренняя музыка, музыка электронов и ядер, музыка шестнадцати химических нот – атомных орбиталей… В химии всё как в музыке: и то, и другое либо исполняют, либо сочиняют… Во-первых, уравнение Шрёдингера правильно описывает химический мир (а значит, и весь мир); нет ни одного факта или явления физического или химического мира, которые противоречили бы этому уравнению» [3: 53,56,57].

В аналогии с платоновским мировидением есть глубокий внутренний смысл – во-первых, постижение объектов, исходя из единого начала, во-вторых, стремление к универсальности, в третьих, геометрическая трактовка первооснов нашей реальности: химические свойства атомов и молекул определяются уровнями энергии и формой ψ-функций. Один из создателей квантовой механики В.Гейзенберг считал что, двигаясь по этому «платоновскому пути», удастся предсказать и спектр масс элементарных частиц, разобраться, почему масса протона в 1836 больше, чем электрона и почему элементарных частиц так много.

Решая конкретную задачу, Евклид, по сути, предложил вторую, современную, трактовку математики. Она связана с аксиоматическим методом и со стремлением вывести множество следствий, пользуясь логикой, из немногих, принимаемых без доказательства основных и порой кажущихся очевидными утверждений – аксиом. Это привело к созданию аксиоматических теорий в одних областях и к мечтам о разработке таковых в других. Естественно, возник вопрос о природе доказательств и их строгости.

Простота, ясность и точность формулировок решенных и нерешенных задач привела к возможности «передать проблемы» следующим поколениям исследователей. Комедии Аристофаеа непонятны – юмор и сатира стареют очень быстро, трагедии Эсхила озадачивают – люди в те времена были иными, а утверждения и доказательства Евклида мы, вероятно, понимаем так же, как он. Неразрешимость классических задач Античности – квадратуры круга, трисекции угла и удвоения куба, над которыми работали десятки поколений математиков, была доказана лишь в XIX в. Не удивительно, что с тех пор, как появилось книгопечатание, «Начала» издавали более 1000 раз: «Труд Евклида будет жить еще долго после того, как все учебники наших дней будут заменены другими и забыты. Это один из самых замечательных памятников античности», - писал британский математик Л.Хизл [10: 65].

Третья трактовка связана с идеей выдающегося немецкого философа, математика, физика, юриста, языковеда Г.В.Лейбница (1646–1716), мыслившего математику как «науку о возможных мирах». Лейбниц изобрел механический калькулятор, который мог делить и умножать. Он полагал, что в будущем разработают настолько совершенные «считающие машины», что им можно будет поручить судопроизводство. Машины будут судить людей. Это соответствует идеям радикальных сторонников «цифровизации реальности» [11]. Идеи Лейбница предвосхитили взлет компьютерных технологий и оказались провидческими. Другими словами, здесь математика оказалась инструментом проектирования будущего и теоретической основой для разработки технологий, преобразующих это будущее.

В настоящее время происходит гуманитарно-технологическая революция, кардинально меняющая алгоритмы развития общества и создаваемых сейчас высоких технологий [7], [17], [19]. Иным становится облик науки – всё более важную роль начинают играть междисциплинарные подходы. Это влияет и на саму математику, и её место и в обществе, и в научном пространстве. Появляется новая трактовка всего комплекса математических знаний и новые источники их развития. С другой стороны, растет её влияние на наше мировоззрение, культуру, образование и будущее.

Выбор реальности

Всё во Вселенной и Вселенная во всем; мы в ней, она в нас; таким образом всё совпадает в совершенном единстве.

Джордано Бруно

В настоящее время цивилизация стоит перед барьером, разделяющим индустриальную и постиндустриальную фазы развития. Этот переход связан с разворачивающейся на наших глазах гуманитарно-технологической революцией, в ходе которой меняются не только используемые технологии, символы, ценности, цели, но и сам человек. Следуя математической терминологии, мы находимся в точке бифуркации, в ситуации выбора, который определит наше будущее на много поколений вперед.

Американский социолог Д.Белл в 1970‑х гг. выдвигал «осевой принцип», в основу которого положены статус и историческая роль знаний, и выделял в социальной эволюции три эпохи: доиндустриальное, индустриальное и постиндустриальное общество. По Беллу, в постиндустриальном обществе знание выступает основным источником богатства и власти, поэтому решающими становятся не машинные, а интеллектуальные технологии.

Прошедшие полвека показали, что прогноз Белла оправдался, но парадоксальным образом. Действительно, в индустриальную эпоху решающим был эффект масштаба. Мы имели дело с массовыми сущностями – производством, образованием, культурой, армиями, оружием массового уничтожения. Унификация, стандартизация, взаимозаменяемость были характерны для «социальных машин» той эпохи. Целое здесь гораздо больше части, реализуется императив «человек для экономики». Решающим преимуществом в это время была производительность труда – способность производить продукции больше и дешевле, чем конкуренты. Мир представлялся бесконечной кладовой, позволяющей развивать общество потребления и «всё более полно удовлетворять растущие потребности». Промышленная революция избавила людей от тяжелого физического труда.

Происходящая на наших глазах цифровая революция освобождает общество от рутинного умственного труда, но при этом появляется множество «лишних» при данном социальном устройстве людей.

Произошло то, о чем предупреждал в 1950‑х гг. создатель кибернетики Норберт Винер: «Современная промышленная революция должна обесценить человеческий мозг, по крайней мере в его наиболее простых и рутинных функциях… Тогда средний человек со средними или ещё меньшими способностями не сможет предложить для продажи ничего, за что стоило бы платить деньги. Выход один – построить общество, основанное на человеческих ценностях, отличных от купли-продажи. Для построения такого общества потребуется большая подготовка и большая борьба, которая при благоприятных обстоятельствах может вестись в идейной плоскости, а в противном случае – кто знает как?» [4: 44]

Действительно, в странах-лидерах технологического развития в среднем из 100 человек 2 занимаются сельским хозяйством и производят продукты для себя и всех остальных, 10 работают в промышленности, 13 – в управлении. Что должны делать остальные 75? Это ключевой вопрос, ответ на который даст XXI в. и который определит наше будущее.

Научные и технологические возможности, идеи прогресса и развития несовместимы с нынешним социальным устройством, с кризисом лишних людей, с нынешним безвременьем. Возникает нелегкий выбор. С одной стороны, – это путь назад, в Новое Средневековье, к сословному обществу. При этом компьютерные технологии могут создать «прозрачный мир», тотальный контроль для стабилизации общества, осуществляемый триллионами «наблюдатчиков» (по выражению французского социолога Жака Аттали [2]. Это вариант позднего Рима с императивом плебса «Хлеба и зрелищ».

Другой вариант связан с тем, чтобы сделать жизнь 75% также яркой, содержательной, созидательной. Это может быть связано с развитием науки, культуры, творчества. Возможно, с возвратом к идеалам платоновской Академии… В течение многих веков таких ситуаций не было, в мире не было так много «лишних» людей, поэтому контуры этого пути пока неясны. Однако прежняя траектория, по которой сотни тысяч лет развивалось человечество, утратила устойчивость. Первый вариант с большой вероятностью ведет к катастрофе – наступает время поиска новых, нехоженых путей.

И в этой связи, как и предвидел Белл, огромную роль начинает играть наука. Американский философ и историк науки Томас Кун, исходивший из представлений о социокультурной обусловленности научного познания, в 1960‑х гг. выдвинул теорию научных революций. В ходе таковых одна парадигма меняет другую, в остальное время в рамках «нормальной науки» происходит уточнение и эволюционное развитие существующей парадигмы.

В понятие парадигмы Кун вкладывал два смысла. Во-первых, это беспрецедентное научное достижение, задающее уровень, стандарт последующих научных исследований. Во-вторых, это результат и представления, которые можно развивать на разном уровне и в различных направлениях, своеобразный «генератор головоломок». Эти идеи оказались очень удачными, и их начали активно применять и к естествознанию в целом, и к различным наукам, и к математике. Можно сказать, что сам реальный, а не календарный, возраст научной дисциплины можно измерять числом парадигм, сменивших друг друга в её рамках.

Развивая куновские идеи, В.С.Стёпин выдвинул теорию глобальных научных революций. В ходе таковых достижения одной дисциплины начинают менять основания других. Типичный пример – развитие квантовой механики – фундаментальной физической теории – в очень короткий срок преобразило химию, позволило выйти на гораздо более высокий уровень понимания химических процессов.

«В ходе глобальных научных революций происходит радикальная перестройка всех компонентов оснований науки: её картины мира, идеалов и норм, её философских оснований. Обозначив такие случаи как глобальные научные революции, я связал их с изменением типа научной рациональности. Так были введены в методологический обиход представления о трех типах рациональности – классической, неклассической, постнеклассической.

Первый из них (классика) характеризуется особым пониманием идеалов объяснения и описания. Предполагается, что объективность объяснения и описания достигается только тогда, когда в цепочке «субъект – средства (операции) – изучаемый объект» объяснение сосредотачивается только на объекте и будет исключено всё, что относится к субъекту, средствам и операциям деятельности.

Второй (неклассика) эксплицирует связи между знаниями об объекте и характером средств и операций деятельности…

Третий (постнеклассика) расширяет поле рефлексии над деятельностью, учитывает соотнесенность получаемых знаний об объекте не только с особенностью средств и операций деятельности, но и с её ценностно-целевыми структурами. В явном виде учитывается связь между внутринаучными и вненаучными социальными целями и ценностями», – пишет В.С.Стёпин [19: 67,68].

Схожая картина имеет место и для технологических революций. Например, введенные В.В.Ивановым представления об «экологии технологий», вбирающие и социальное, и природное, и техническое измерение инновационного развития [7], несомненно, является междисциплинарным, постнеклассическим сюжетом.

В полной мере подобная методологическая схема относится и к развитию математики. Евклид, Платон, Декарт, Ньютон, многие другие выдающиеся умы полагали, что они силой разума устанавливают и открывают универсальные, неизменные, однозначно вытекающие из рассуждений истины или законы природы (знаменитое ньютоновское выражение: «Гипотез не измышляю»). Это типичный взгляд классической науки.

Неклассика начинается с неевклидовых геометрий, с повышения уровня строгости рассуждений в конце XIX в., с попытками осмыслить основания математики, со столкновениями логицизма и интуиционизма, с «утратой определенности» [9].

Появление компьютеров, подготовленное фундаментальными работами выдающихся математиков – Тьюринга, Поста, Черча и ряда других, кардинально изменило саму эту науку, и огромный сегмент техносферы, и на наших глазах формирует цифровую реальность. Конечно, всё это – постнеклассика.

В фольклоре бытует выражение: «Теоретическая математика делает то, что можно, так, как нужно, а прикладная – то, что нужно, так, как можно». Появление компьютеров привело ко второму рождению прикладной математики – посчитать стало можно гораздо больше, чем раньше. Пределы возможного расширились, но возникли и новые границы, потребовавшие осмысления.

Постнеклассический взгляд на математику как на важную и неотъемлемую часть науки и, более широко, культуры, находящуюся с ними в непрерывном взаимодействии, близок к подходу Эйнштейна, изложенному в книге «Мир, каким я вижу его» (1934): «Весь предшествующий опыт убеждает нас в том, что природа представляет собой реализацию простейших математически мыслимых элементов. Я убежден, что посредством чисто математических конструкций мы можем найти те понятия и закономерные связи между ними, которые дадут нам ключ к пониманию явлений природы. Опыт может подсказать нам соответствующие математические понятия, но они ни в коем случае не могут быть выведены из него. Конечно, опыт остается единственным критерием пригодности математических конструкций физики. Но настоящее творческое начало присуще именно математике. Поэтому я считаю в известном смысле оправданной веру древних в то, что чистое мышление в состоянии постичь реальность». [9: 398]

Математику, следуя классике, до сих пор часто называют наукой о числах и фигурах (как, например, в классической книге [17]). Но правильнее было бы говорить, что она занимается исследованием чисел, фигур, качеств и движения. В самом деле, успех в реализации исследовательской программы выдающегося математика Анри Пуанкаре был связан, в частности, с созданием качественной теории обыкновенных дифференциальных уравнений, теории катастроф, топологии, которые имеют дело с качественными перестройками изучаемых объектов при изменении параметров.

С другой стороны, главные успехи в математике Нового времени или, более широко, в развитии современного естествознания связаны с фундаментальными достижениями в описании изменения описываемых объектов во времени, саморазвития. Посмотрим с этой, пока нетрадиционной, точки зрения на математику и на её подходы к описанию эволюции.

Движение, эволюция и их модели

Математика – это единая симфония бесконечного.

Д.Гильберт

Существование таинственных связей между всеми этими различными областями – самая поразительная и прекрасная сторона математики (не имеющая никакого разумного объяснения).

В.И.Арнольд

Со времен Зенона Элейского (ок. 490 г. до н.э. – ок. 430 г. до н.э.) философы и математики решают предложенные им апории – парадоксальные утверждения, призванные показать, что движение невозможно, что оно является иллюзией, или мы его не умеем описывать.

Один из парадоксов этого осмысления связан с соревнованием между Ахиллесом и черепахой. Пусть расстояние между ними было , скорость Ахиллеса (путь, проходимый за единицу времени) - , скорость черепахи -  (). Когда Ахиллес пробежит путь за время , черепаха пройдет путь , когда Ахиллес пройдет это расстояние, черепаха сдвинется на  и т.д.

Чтобы догнать черепаху Ахиллесу придется сделать бесконечно много шагов (всё меньшей величины). В этой логике догнать черепаху Ахиллесу не удастся, и наш очевидный, «школьный» ответ  не должен вводить в заблуждение. В связи с парадоксом встают глубокие вопросы, а действительно существуют сколь угодно малые пространственные и временные промежутки? Можно ли их в принципе измерить? Или мы имеем дело с математической абстракцией, не имеющей физического смысла? В квантовой версии этого парадокса ответ существенно зависит от того, измеряем ли мы положение «Ахиллеса» и «черепахи» после прохождения очередного участка пути.

К четырем величайшим математикам обычно относят Архимеда Сиракузского (287 г. до н.э. – 212 г. до н.э.), Ньютона, Гаусса и Эйлера. В частности, Архимед был основоположником комбинаторики, автором удивительных механизмов, он знал формулу для суммы чисел геометрической прогрессии и с помощью «метода исчерпывания» доказывал формулу для объёма пирамиды , где  − объем,  − площадь основания, а  − высота этого тела.

Пути, проходимые за последовательные интервалы времени равны , , , времена – , ,… .

 

 

Заметим, что для того, чтобы получить «школьный» ответ, нам нужно переходить к бесконечности, суммировать бесконечно большое число бесконечно малых слагаемых.

В этой связи заметим принципиальный момент: компьютер не умеет оперировать с бесконечностями. Ему «удобнее считать», что мир дискретен, что в нем есть только целые числа. Ему «чуждо» представление о действительном числе как о бесконечной последовательности цифр… В его логике расстояние между Ахиллесом и черепахой должно составлять  единиц, скорости персонажей должны быть целыми числами  и герой догонит бедное животное в точности через  тактов, если  нацело не разделится, то мы округлим то, что получилось, до ближайшего целого. Дискретный мир очень существенно отличается от непрерывного, и красота, гармония, мера в этих пространствах различны.

Следующий шаг в описании движения, развития, эволюции был сделан Леонардо Пизанским, известным как Фибоначчи (ок. 1170 – ок. 1250 г. до н.э.). В 1202 г. он опубликовал «Книгу абака», познакомившую Европу с индо-арабскими цифрами, десятичной системой счисления и последовательностью 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13,…, называемую сейчас рядом Фибоначчи. Фибоначчи трактовал этот ряд как модель, описывающую размножение кроликов. Он предполагал, что кролики живут вечно и что каждый месяц каждая пара производит новую пару, которая начнет давать потомство когда достигнет двух месяцев.

Через четыре века выдающийся математик и астроном И.Кеплер вернулся к этой задаче и заметил, что если  член этого ряда, то весь ряд порождается формулой

.

По-видимому, это первая введенная в рассмотрение динамическая система, определяющая состояние объекта в следующий момент времени (здесь ) по её состоянию в предыдущие ( и ).

Предположив, что  представляет в частном случае геометрическую прогрессию со знаменателем  −  – и подставив это выражение в формулу для , получим

,

.

Подобная формула была получена Бине в 1843 г. Ее удивительная красота заключается в том, что , , , где  − золотое сечение или, как его назвал Лука Пачоли в книге, выпущенной в 1509 г., «Божественная пропорция».

Эта пропорция определяет деление отрезка в отношении, при котором длина всего отрезка  относится к его большей части  так же, как длина большей части  к длине меньшей части . Художники и скульпторы Античности и Возрождения считали, что именно такое отношение форм ласкает взгляд.

Кеплер заметил, что  при  стремится к  (это следует из выписанной формулы для . Он с восхищением писал: «Геометрия владеет двумя сокровищами: одно из них – это теорема Пифагора, а другое – деление отрезка в среднем и крайнем отношении. Первое можно сравнить с мерой золота, второе же больше напоминает драгоценный камень». [10: 236]

Математика во многих отношениях близка к философии, поскольку обе сферы интеллектуальной деятельности являются областями творчества, не связанными непосредственно с их материальным воплощением. Кроме того, обе они непосредственно связаны с формированием и развитием мировоззрения.

По мысли В.С.Стёпина, предтечей теории самоорганизации следует считать Г.В.Ф.Гегеля, который положил в основу своей концепции идею эволюции и саморазвития. Он сосредоточился на саморазвивающейся системе, которая была у него перед глазами, – на культуре.

Прогресс, экстенсивное развитие, рост вширь нашли свое отражение в теории, разработанной британским экономистом, демографом, священником Т.Р.Мальтусом (1766–1834). Он считал, что численность населения  в течение данного времени  растет в геометрической прогрессии – в одинаковое число раз за одинаковые промежутки времени, если ресурсов достаточно,

                                                                                   (1)

Иначе говоря, завтра всё будет примерно так же, как сегодня, только в большем масштабе. В такой ситуации естественно планировать «от достигнутого». То, что для численности человечества дело обстоит совсем иначе, было понято только в последние десятилетия [8], а многими не осознано до сих пор.

Принципиально иной взгляд на апорию Зенона, на пространство и время выдвинули Ньютон и Лейбниц, введя представление о мгновенной скорости, бесконечно малых величинах и предложив новый язык для математического моделирования движения – язык дифференциальных уравнений. Цена этого достижения оказалась очень велика. Вводя производную как предел

,

мы предполагаем, что пространственные и временные промежутки могут быть сколь угодно малыми и отбрасываем бесконечно малые следующих порядков . Чтобы обосновать теорию пределов, нам приходится предположить, что бесконечно малая  умноженная на любую конечную величину C будет оставаться бесконечно малой величиной того же порядка. Но таких чисел на числовой прямой не существует!

На этот факт обратил внимание британский теолог и философ, классик субъективного идеализма Джордж Беркли (1685–1753). Он интересовался у Ньютона, не являются ли введенные им бесконечно малые величины «тенями безвременно усопших конечных величин». Более строгую трактовку этих сущностей удалось дать только в середине XX в. в нестандартном анализе, где вводятся специальные пространства бесконечно малых и бесконечно больших величин, отличные от множества обычных чисел. Ньютон игнорировал подобные вопросы и продолжал применять созданный им математический аппарат – предложенный им новый язык − к решению фундаментальных задач.

Ньютон прекрасно понимал принципиальное значение этого языка. В те времена, когда отсутствовали научные журналы, но вопросы приоритета волновали исследователей не меньше, чем сейчас, они зашифровывали свои открытия в виде анаграмм и рассылали коллегам. Когда те приходили к аналогичным выводам и сообщали об этом, то пославший анаграмму присылал её расшифровку и тем самым доказывал, что он был первым. Ученые рассылали множество анаграмм – в ходе исследований порой трудно оценить, что окажется главным. Ньютон зашифровал в виде анаграммы только одно утверждение: «Полезно изучать дифференциальные уравнения».

Непрерывным аналогом уравнения (1) в мире непрерывных величин будет дифференциальное уравнение

,                                                                                  (2)

где число  называют мальтузианским коэффициентом. Решение уравнения (2) описывает экспоненциальный рост численности населения , при котором также величина  увеличивается в одинаковое число раз за равные промежутки времени, в точности как в геометрической прогрессии.

Языки разные, но соотношения (1) и (2) выражают одно и то же представление о неограниченном прогрессе в течение сколь угодно большого времени.

Подчеркнем ещё один принципиальный момент, который принесла ньютоновская революция в естествознании в целом и в математике в частности – это изменение понятия числа и его отношения к проблеме измерения.

Греки мыслили числа как геометрические объекты, которые могут быть построены с помощью циркуля и линейки, и тем самым измерены. В этом ряду стоят и рациональные числа вида , где  и  - целые. Однако в рамках анализа бесконечно малых, основы которого были заложены Ньютоном и Лейбницем, действительное число, фигурирующее в дифференциальных уравнениях, - это бесконечная последовательность цифр. «Измерение» такой величины требует бесконечной точности, что является очень странной для физики абстракцией.

Если эта последовательность периодична, то она соответствует рациональному числу, а если непериодична – иррациональному. Взяв наугад точку на числовой прямой, мы почти всегда получаем иррациональное число. Кроме того, как было показано в XIX в., существует «большое» множество таких чисел, которые не могут быть построены с помощью циркуля и линейки… Это совсем не те числа, с которыми оперировали древние греки и с которыми может иметь дело компьютер. В этой области – области бесконечного – мы сильнее машин.

Новый взгляд на эволюцию, гармонию и её математические образы

Эта Вселенная, одна и та же для всех, не создана никем из богов, ни из людей, но всегда была, есть и будет вечно живым огнем, сама по себе периодически разгораясь и ослабевая.

Гераклит

Хорошо бы заглянуть за момент обострения, посмотреть, что там за ним…

А.Н.Тихонов

Соотношения (1) и (2) можно трактовать как простейшие модели цепной реакции, где  и  связаны с коэффициентами размножения нейтронов.

Если  в (1) или  в (2), то система удаляется от положения равновесия . И чем больше отклонение, тем быстрее она удаляется – имеет место положительная обратная связь. Именно неустойчивость, неравновесность, ускоряющееся движение стали символами культуры, науки, техники XX в.

Может ли иметь место в реальных системах ещё более сильная неустойчивость, чем та, которую имел в виду Мальтус?

Да, такие неустойчивости существуют и они непосредственно относятся к эволюции наиболее важного для нас вида – человека.

Известный историк И.М.Дьяконов, предлагающий свою периодизацию истории (он выделяет первобытную, первобытнообщинную, раннюю древность, имперскую древность, средневековье, стабильно-абсоматистское постсредневековье, капиталистическую и посткапиталистическую фазы), так характеризует пройденную демографическую траекторию: «Нет сомнения, что исторический процесс являет признаки закономерного экспоненциального ускорения. От появления Homo Sapiens до конца I фазы прошло не менее 30 тыс. лет, II фаза длилась около 7 тысяч лет, III фаза – около 2 тыс. лет, IV фаза – около 1,5 тыс. лет, V фаза – около тысячи лет, VI фаза – около 300, VII фаза – немногим более 100 лет, продолжительность VIII фазы пока определить невозможно. Нанесенные на график, эти фазы складываются в экспоненциальное развитие, которое предполагает в конце концов переход к вертикальной линии или, вернее, к точке – так называемой сингулярности. По экспоненциальному же графику развиваются научно-технические достижения человечества, а также, как упомянуто, численность населения Земли. Вертикальная линия на графике равносильна переходу в бесконечность. В применении к истории понятие «бесконечность» лишено смысла: не могут дальнейшие фазы исторического развития, всё убыстряясь, сменятся за годы, месяцы, недели, дни, часы, минуты, секунды. Если не предвидеть катастрофы – хочется верить, премудрый Homo Sapiens сумеет её предотвратить, – тогда, очевидно, следует ожидать вмешательства каких-то новых, еще не учитываемых движущих сил, которые изменят эти графики. Хорошо, если они переведут их на платформу, плохо, если изменение выразится в стремительном падении линии от какой-то достигнутой вершины. Будем надеяться, что уже вскоре человечество ждут непрогрессирующие или слабо прогрессирующие фазы». [6: 352,353]

На дискретном языке, продолжающем традицию Фибоначчи, эту закономерность выражают соотношения

, ,

где  − численность человечества  в момент времени , ,  [8].

Первое соотношение выражает закон обычного мальтузианского роста, второе – сжатие исторического времени. Оно в точности такое же, как в апории Зенона об Ахиллесе, догоняющем черепаху, и сингулярность (особенность) должна была бы наступить в момент .

На языке дифференциальных уравнений этот закон определяется уравнением С.П.Капицы

, ,                                                                                                (3)

где  − численность человечества в момент времени ,  «определяется из анализа глобального демографического процесса и дает масштаб времени, к которому следует относить процессы, происходящие в системе человечества… Значение этого времени – времени человека – весьма удовлетворительно отражает некоторую среднюю временную характеристику для жизни человека… . Это число занимает центральное место в теории роста. Следует отметить, что числами порядка k определяется эффективный размер группы, в которой проявляются коллективные признаки сообщества людей. Таким может быть оптимальный масштаб города или района большого города, обладающих, как правило, системной самодостаточностью. В популяционной генетике числа такого порядка определяют численность устойчиво существующего вида» [8: 221,223].

Решение этого уравнения описывает закон численности человечества

,                                                                                        (4)

где  − время в годах от начала нашей эры.

Это уравнение описывает рост числа людей на планете в зависимости от времени по гиперболе (см. рис. 1), асимптота которой – 2025 г., определяющий время сингулярности или момент обострения , как его называют в научной школе С.П.Курдюмова.

В этой научной школе такие сверхбыстрые режимы вначале исследовались в связи с задачами теории горения, физики взрыва, анализом различных неустойчивостей в плазме. Основатель этой научной школы, директор Института прикладной математики им. М.В.Келдыша РАН, член-корр. РАН Сергей Павлович Курдюмов видел во всех этих процессах, прежде всего, горение. Он считал, что Гераклит был прав – на фундаментальном уровне именно выделение энергии и ее рассеяние является основой самоорганизации – самопроизвольного, спонтанного возникновения упорядоченности на разных уровнях организации материи [18].

В начале XX в. Анри Пуанкаре писал, что единство мира, его красота и гармония проявляются не только в его материальности, что представлялось выдающемуся исследователю очевидным, а в том, что различные процессы в нашей реальности описываются одними и теми же линейными уравнениями.

Эти уравнения описывают процессы, где, например, увеличение начальных данных в α раз приводит к умножению в такое же число раз решения – количество не переходит в качество – нового не возникает. Для таких систем имеет место принцип суперпозиции – чтобы выяснить результат совместного действия факторов A и B, нужно решить задачи по отдельность для A и B, а для того, чтобы получить ответ для A и B просто сложить полученные решения. Фундаментальные физические теории – электродинамика, акустика, теория упругости, квантовая механика – линейны. В каждой из них исследователи обычно ищут решения в виде бегущих волн , и уже в самом начале хорошо представляют, что должно получиться.

Наука – неотъемлемая и очень важная часть общей культуры. И в искусстве, пожалуй, наиболее близким воплощением классической научной рациональности является стиль классицизма с его ясностью, простотой, гармонией, статикой, выверенными пропорциями. Здесь нет времени – произведения этого стиля предназначены, чтобы жить в вечности. Отсюда стремление к совершенству и преклонение перед «божественной пропорцией».

В нелинейном мире своя красота.

Во-первых, он гораздо богаче и разнообразней.

Во-вторых, здесь нет принципа суперпозиции и количество может переходить в качество, а изучаемые объекты могут вести себя парадоксальным, антиинтуитивным образом.

В-третьих, в теорию возвращается динамика, стрела времени, необратимость, не позволяющая «вернуться назад».

В-четвертых, меняется отношение к описанию реальности, и к осмыслению причинно-следственных связей, лежащих в основе нашей реальности. Галилею было чуждо представление о законах природы – он полагал, что Бог сотворил мир лучшим и единственно возможным способом. Ньютон считал, что Бог дает законы Природе, так же, как государь формулирует законы для подданных. Наконец, Лейбниц допускал возможность существования многих, различных миров.

Ньютон полагал, что установленные им законы – истинны и способны описать всё сущее от начала времен до их конца. Современные исследователи, оперирующие математическими моделями значительно скромнее – они стремятся отразить главное и как можно точнее очертить область применимости своих описаний. В частности, модель С.П.Капицы, рассматривающая мир как единую целостную систему, исследует лишь часть демографического пути, пройденного человечеством, и не претендует на описание того, что будет после него или вместо него. Это дело других моделей.

Это ближе к неклассике, к импрессионизму, сосредотачивающему внимание на динамике, на красоте или важности переживаемого момента. Гипербола, уходящая в бесконечность – наглядный образ этого мира, имеющего начало и конец.

Характерный пример из небесной механики. Планета при небольшой скорости будет вечно периодически двигаться по эллипсу вокруг своей звезды (расположенной в одном из его фокусов). Напротив, комета при большой скорости будет двигаться по гиперболе, лишь один раз оказавшись в окрестности звезды и затем покидая ее навсегда.

В начале XX в. Жак Адамар, размышляя над математическими моделями и уравнениями математической физики, сформулировал понятие корректности задачи – требования, которым должна удовлетворять проблема для того, чтобы стоило браться за её решение:

–        решение должно существовать;

–        оно должно быть единственным;

–        оно должно быть устойчивым относительно параметров, краевых условий и начальных данных.

Ирония развития математики состоит в том, что в течение всего XX в. во множестве интересных и перспективных направлений исследователи стремились выйти за очерченные Адамаром границы.

Режимами с обострениями называются такие законы роста исследуемых величин, при которых одна или несколько изучаемых характеристик исследуемых систем неограниченно возрастает за ограниченное время, называемое временем обострения . Следуя логике Адамара, такие решения большинство исследователей в течение многих лет отбрасывали как не имеющие физического смысла.

Однако С.П.Курдюмов посмотрел на них по-иному, как на способ просто и наглядно описать часть эволюции многих систем с сильной положительной обратной связью. «Мы вступили в новый удивительный мир нелинейных систем. Здесь нас ждут новые модели, понятия, философия, другой взгляд на мир и, конечно, открытия», – часто говорил он ученикам.

И действительно, режимы с обострением прекрасно подошли для того, чтобы описывать глобальные демографические процессы, заполнение новых экологических ниш, возникающих в ходе эволюции, чтобы предложить парадоксальные режимы сжатия дейтериево-тритиевых лишений при лазерном термоядерном синтезе, для точного управления экзотермическими реакциями в задачах лазерной термохимии в теории турбулентности, а также во множестве других случаев.

И здесь мы видим важную тенденцию в развитии математики, наметившуюся с начала XX в. Давид Гильберт, предложивший 23 проблемы на математическом конгрессе в Париже и настаивавший на «алгебраическом пересмотре» всего здания математики, видел в качестве магистрального пути следование внутренней логике этой дисциплины и повышение строгости рассуждений. Это программа воплощалась многими учеными и, в частности, выдающимися французскими исследователями, взявшими себе коллективный псевдоним Бурбаки.

Однако на рубеже XXI века стало ясно, что именно «внешнее оправдание», то, что снисходительно относили к прикладной математике, и привело к наиболее важным фундаментальным теоретическим результатам в этой науке.

«Вся математика делится на три части: криптография (оплачиваемая ЦРУ, КГБ и им подобными), гидродинамика (поддерживаемая производителями подводных лодок) и небесная механика (финансируемая военными и другими организациями, типа НАСА, имеющими отношение к ракетам).

Криптография привела к созданию теории чисел, алгебраической геометрии над конечными полями, алгебры[1], комбинаторики и компьютеров.

Гидродинамика породила комплексный анализ, уравнения в частных производных, теорию групп и алгебр Ли, теорию когомологий и методы вычислений.

Небесная механика дала начало теории динамических систем, линейной алгебре, топологии, вариационному исчислению и симплектической геометрии», – так подводил итог пути, пройденного математикой к началу третьего тысячелетия известный российский математик В.И.Арнольд [1: 1,2].

Если следовать логике теории самоорганизации (синергетики) и рассматривать науку как саморазвивающуюся систему, то математика, отчасти философия и не только они) являются медленными переменными, параметрами порядка, предлагающими набор вопросов, категорий и образов, опираясь на которые ученые исследуют многое другое.

Как видим, большинство прежних направлений развития математики отражали в снятом, преобразованном виде приоритеты индустриальной эпохи. Однако, научные и технологические приоритеты меняются, а, значит, с ними будет меняться и математика.

О развитии науки в ближайшие 50 лет позволяет судить средняя цитируемость научных работ в мире в различных научных дисциплинах [12]. Для медицины и наук биологического цикла это 50, для химии – 10, для физики – 8, для математики и информатики – по 1,5. Первая половина начавшегося столетия будет веком биологии и медицины.

Предтечами «новой математики» являются удивительно красивые математические теории, призванные пролить свет на проблему морфогенеза. Суть проблемы состоит в следующем. Молекулярная биология и генетика утверждают, что все клетки организма несут одну и ту же генетическую информацию. Встает резонный вопрос, как же в процессе развития из одной оплодотворенной яйцеклетки одни клетки узнают, что их потомкам суждено стать клетками желудка, костей или мозга.

Очень поэтично описывают эту проблему биологи: «Эволюционируют не взрослые организмы. Эволюционируют не ювенильные (незрелые) организмы. Эволюционирует вся система целиком, система продвижения от яйца до половозрелого организма, т.е. онтогенез. Иными словами, эволюционируют онтогенезы.

Онтогенезы основаны на самоорганизации. Нельзя понять эволюцию, не понимая, что такое самоорганизация и как она работает. К сожалению, понять это не очень просто, потому что наши мозги плохо приспособлены для этого. Но мы всё же постараемся.

Всем хорошо знаком такой наглядный пример самоорганизации, как образование морозных узоров на стекле. При этом у нас на глазах из «простого» (из хаотического движения водяного пара) рождается «сложное» - изысканные ледяные картины…

То же и с развитием многоклеточного организма. Оно еще больше похоже на чудо. Из комочка клеток, возникших в результате первых делений зиготы – одинаковых клеток, у которых нет ни целей, ни планов, ни разума, - сам собой , словно по мановению волшебной палочки, развивается сложнейший организм… Казалось бы, должен быть какой-то «центральный управляющий орган». Где же он?

Удивительно, но никакого управляющего центра нет. Множество одинаковых объектов – например, делящихся клеток – могут формировать сложные структуры, создавая видимость осмысленного поведения, без всякого централизованного руководства. Это и есть самоорганизация (или самосборка). И если она вызывает у нас ощущение чуда, то это проблема нашей психики, а не объективной реальности» [13: 531,532]

Это совсем другое представление о красоте, чуде, гармонии как об удивительном происходящем процессе.

Одной из первых удачных попыток осознать и смоделировать процесс самоорганизации стала работа выдающегося математика и криптографа, заложившего основы для создания компьютера, Алана Тьюринга, написанная в 1952 г. В этой работе он предположил, что за образование структур в биологических тканях отвечают химические реакции между двумя гипотетическими веществами – активатором и ингибитором, а также диффузионные процессы. Оказалось, что эволюция случайных начальных данных приводит к удивительной упорядоченности – почти периодическому распределению пиков концентрации, не меняющимися со временем. Позже с легкой руки главы брюссельской научной школы И.Р.Пригожина (Нобелевская премия по химии 1977 г.) такие распределения стали называть стационарными диссипативными структурами.

В 1950‑х гг. биологи не приняли модель Тьюринга, упрекая автора в схематизме и сверхупрощении. В настоящее время в научной литературе есть более 20 тыс. работ, посвященных моделям реакция-диффузия, первую из которых предложил Тьюринг. С их помощью ученые сумели описать удивительно много разных процессов.

Французский математик Рене Том, рассматривая ту же самую проблему морфогенеза, предположил, что главным в процессе развития является потеря пространственной и функциональной симметрии. При этом особенно важными ему представлялись ситуации, в которых в ответ на бесконечно малые вариации управляющих воздействий изучаемая система отвечает изменением своего состояния скачком на конечную величину. Ренэ Том назвал такие скачкообразные изменения катастрофами. В настоящее время теория катастроф представляет собой очень красивую и детально разработанную математическую теорию с прекрасными зрительными образами и многочисленными приложениями во многих областях от теории дифракции и физики лазеров до социологии и теории остойчивости кораблей [7].

Наконец, размышляя над той же задачей, один из выдающихся математиков XX в. Джон фон Нейман пришел к выводу, что центральным моментом и в теории самоорганизации, и в исследовании биологических систем является феномен самовоспроизведения. Иными словами, некоторая сущность в процессе своей эволюции создает подобную себе и при этом сама со временем возвращается в исходное состояние. Для того, чтобы показать, что это возможно, он ввел новый класс математических объектов – клеточные автоматы. Последние позволяют описывать на дискретном языке процессы, которые разворачиваются в пространстве и во времени. При этом, и сама изучаемая величина, и координаты в пространстве и времени задаются только целыми числами. Со временем нечто подобное воплотилось в компьютерных вирусах, эпидемии которых время от времени сотрясают информационное пространство.

Подводя итог, можно сказать, что математикам для развития своего творчества оказалось очень полезно размышлять над фундаментальными проблемами других дисциплин, а ученым из разных, порой весьма далеких областей, пользоваться плодами и этих размышлений.

Есть ещё один важный момент, сближающий математику (возможно, необходимую для описания эволюции) с искусством. Для математики, как и для многих других научных дисциплин, большое значение имели доказательства неразрешимости каких-либо задач, принципы запрета, осознание своих ограничений.

Для математики со времен Ф.Клейна характерно стремление к классификации и наведению порядка в пространстве своих объектов. Если таковая присутствует, то можно детально разбираться с каждым типом объектов. Если ее нет или, скажем, классов несчетное количество (например, как точек на отрезке), то мы оказываемся в положении Ньютона. Великий физик сравнивал себя с мальчиком, подбирающим красивые камни на берегу океана. У нас нет возможности перебрать все камешки (к чему стремиться наука), но может найтись модель, образ, уравнение, которые пригодятся для решения наших задач или в каком-то виде отразят свойства целых классов в чем-то схожих объектов. Но это уже очень близко к искусству, стремящемуся в капле увидеть Вселенную, в миге – вечность.

Такие мысли обычно появляются в ходе разработки фундаментальных математических теорий. Например, центральным результатом теории катастроф, создававшейся для того, чтобы описать эволюцию, является классификационная теорема Тома. Она дает исчерпывающую классификацию особенностей в тех случаях, когда число управляющих параметров, от которых зависит изучаемая система, не больше пяти. Если больше … то классов становится бесконечно много.

Одной из центральных тем исследований с 1979‑х гг. стали детерминированные системы (в которых будущее изучаемой системы однозначно определяется её состоянием в данный момент) с непериодическими решениями. Оказалось, что против ожиданий такие системы описывают хаос. Установившиеся хаотические режимы описывают так называемые странные аттракторы [20].

Такие режимы возникают, например, при взаимодействии трех и большего числа популяций. Естественно, математикам сразу захотелось внести порядок в хаос, и провести классификацию странных аттракторов. Однако, фундаментальный результат С.Смейла утверждает, что, уже начиная с трех автономных обыкновенных дифференциальных уравнений, которые мы с легкостью можем посчитать на компьютере, эта задача неразрешима…

Вскоре после появления компьютеров имела место иллюзия, что «все можно посчитать». Конечно, вычислительные машины раздвинули пределы наших возможностей, но и здесь видны границы. Основоположником комбинаторики считают Архимеда – его расчеты и получающиеся в них громадные числа изумляли современников. И действительно, решение, казалось бы, элементарных комбинаторных задач поражает воображение.

Классической является задача коммивояжера. На плоскости некоторым случайным образом расположены 70 городов. Нужно найти кратчайший маршрут, проходящий через все эти города. Теория показывает, что нахождение точного решения требует полного перебора всех вариантов. Первый город можно выбрать  способами, второй –  и т.д. Иными словами, число возможных перестановок  Обратим внимание на цепочку неравенств 70! > 10100 > 1080.

Первое число – количество вариантов, которые нужно просмотреть, чтобы найти решение задачи коммивояжера всего для 70 городов. 10100 – число, для которого физик-теоретик Ф.Дайсон ввел особое название «гугол» (видимо, от английского huge – громадный, гигантский), считая, что это и большие числа слишком велики для того, чтобы встречаться в физических исследованиях. Для такого суждения есть резон, поскольку по нынешним оценкам во вселенной примерно 1080 атомов. Наш геном – это текст, состоящий примерно из 3×109 букв – А, Т, Г, Ц. Невозможно представить, насколько велико пространство вариантов в этом случае…

Поэтому поставить интересную, содержательную, глубокую задачу для суперкомпьютера – дело творческое, требующее и профессионализма, и богатого воображения. Его можно сравнить с сочинением симфонии композитором, который до этого имел дело только с отдельными инструментами.

Тем не менее, интересные задачи, непосредственно связанные с теорией эволюции, посчитать удается. Приведем один наглядный пример. В синергетике сейчас активно развивается направление, называемое искусственной жизнью.

В этом направлении осуществляется прямое численное моделирование эволюционных процессов. Отдельные особи моделируются компьютерными программами, они имеют свой генотип (достаточно простой) и фенотип. В процессе жизнедеятельности они могут обучаться (это реализовано с помощью нейронной сети). Такие «организмы» могут передвигаться, искать ресурс, имеющийся на их гипотетической планете, отдыхать, сражаться, размножаться, передавая свой генетический материал следующим поколениям.

В теории эволюции, в этнографии, в социологии одной из загадок является парадокс альтруиста. Альтруизм – это способность и готовность отдать часть своего жизненного ресурса ближним или дальним. Но, если следовать логике Дарвина, то альтруизм уменьшает шансы особи выжить, а, значит, и дать потомство. Следовательно, через несколько поколений в популяции альтруистов не останется. Однако без них популяция не выживет – погибнут все. Как же, несмотря на естественный отбор, остаются альтруисты? Чтобы ответить на этот вопрос М.С.Бурцев и П.В.Турчин решили смоделировать эволюцию на некой гипотетической планете [22].

Пространство возможных стратегий, которым могут пользоваться особи, намного превышает 10100. Ожидалось, что в этой задаче со временем будет происходить самоорганизация в пространстве жизненных стратегий, решающих правил. Казалось бы здесь, как в классических экологических моделях хищник–жертва, выделятся две главные стратегии – «ястребы» (индивидуальное нападение на слабейшего) и «голуби» (бегство от хищника в любом случае).

Однако всё гораздо сложнее и интереснее. Наряду с этими стратегиями возникли «вороны» (коллективное нападение и сотрудничество между «своими» – «ворон ворону глаз не выклюет») и «жаворонки» (коллективная защита).

Приступая к решению, исследователи надеялись найти «правильный ответ», – набор эволюционно устойчивых стратегий и выход численности тех, кто им следует, на постоянные значения.

Но этого не произошло (см. рис. 2). Всё оказалось гораздо интереснее. В течение длительного времени численности колеблются около некоторых средних значений, а затем в системе могут происходить «революционные изменения», – «и последние становятся первыми». При этом лидирующие позиции занимают маргинальные в прошлом стратегии… Эволюция «отбирает», как выясняется, во многих случаях не тех, кто наиболее приспособлен для того, чтобы самому выжить, а тех, кто может защитить «своих» и передать в будущее «свою» жизненную стратегию.

И здесь возникает понимание нашего места в эволюционном процессе: «… Интеллект стремится к земному, ясному, простому, материальному, полезному, воспроизводимому и т.д. Мышление, напротив, стремится от земного к сложному, идеальному, благому, уникальному и т.д. Если интеллект работает с информацией, то мышление – со смыслами… На уровне мышления, работающего со смыслами, человек в состоянии удерживать управленческую позицию по отношению к искусственному интеллекту без человеко-машинной гибридизации» [5: 162]

Известна пословица: «Умный найдет выход из любой ситуации, а мудрый не попадет в ту ситуацию, из которой надо искать выход». В процессе миллионов лет эволюции и многовекового развития культуры и науки возник вид, который смог создать техногенную цивилизацию, благодаря тому, что научился передавать жизнесберегающие технологии во времени (от поколения к поколению) и в пространстве (из региона в регион), что дало нам решающее преимущество в ходе эволюции. Более того, нам удалось перейти там, где это необходимо, от интеллекта к мышлению, от ума к мудрости и от знания к творчеству. И в ходе происходящих перемен очень важно всё это развить, а не утратить.

Настоящая работа была поддержана РФФИ (проекты 18-011-00567, 18-511-00008, 18-511-00028).

Литература

  1. Арнольд В.И. Полиматематика: Является ли математика единой наукой или набором ремесел?/ Математика: Границы и перспективы. – М.: ФАЗИС, 2005. С.1-18.
  2. Аттали Ж. Краткая история будущего. – СПб.: Питер, 2014. – 288с.
  3. Бучаченко А.Л. От квантовых струн до тайны мышления… Экскурс по самым завораживающим вопросам физики, химии, биологии, математики. – М.: ЛЕНАНД, 2017. – 188с.
  4. Винер Н. Кибернетика, или управление и связь в животном и машине. – М.: Советское радио, 1958. – 216 с.
  5. Вольнов И.Н. Становление сингулярного человека/ Проектирование будущего. Проблемы цифровой реальности (8-9 февраля, 2018г., г. Москва). – М.: ИПМ им. М.В. Келдыша, 2018. с. 160-163.
  6. Дьяконов И.М. Пути истории. От древнейшего человека до наших дней. – М.: Наука. Издательская фирма «Восточная литература», 1994. – 384 с.
  7. Иванов В.В., Малинецкий Г.Г. Россия XXI века. Стратегия прорыва: технологии, образование, наука/ Изд. 2-е. – М.: ЛЕНАНД, 2017. – 304с.
  8. Капица С.П., Курдюмов С.П., Малинецкий Г.Г. Синергетика и прогнозы будущего. Изд. 3-е. – М.: Едиториал УРСС, 2003. – 288 с. – (Синергетика: от прошлого к будущему).
  9. Клайн М. Математика, утрата определенности. – М.: Мир, 1984. – 434с.
  10. Кокстер Г.С.М. Введение в геометрию. – М.: Наука, 1966. – 648с.
  11. Контуры цифровой реальности: Гуманитарно-технологическая революция и выбор будущего / Под ред. В.В.Иванова, Г.Г.Малинецкого, С.Н.Сиренко. – М.: ЛЕНАНД, 2018. – 344с. – (Будущая Россия №28).
  12. Малинецкий Г.Г. Чтоб сказку сделать былью. Высокие технологии – путь России в будущее / Изд. 3-е. – М.: ЛЕНАНД, 2015. – 224 с.
  13. Марков А., Наймарк Е. Эволюция. Классические идеи в свете новых открытий. – М.: АСТ: CORPUS, 2014. – 656с.
  14. Пиковер К. Великая математика. От Пифагора до 57-мерных объектов. 250 основных вех в истории математики. – М.: БИНОМ. Лаборатория знаний. – 599 с.
  15. Постон Т., Стюарт И. Теория катастроф и её приложения. – М.: Мир, 1980. – 608 с.
  16. Проектирование будущего. Проблемы цифровой реальности (8-9 февраля 2018 г., Москва). – М.: ИПМ им. М.В.Келдыша, 2018. – 174 с.
  17. Радемахер О., Теплиц Г. Числа и фигуры. Опыты математического мышления. Изд. 4-е. – М.: Издательство ЛКИ, 2017. – 264 с.
  18. Режимы с обострением. Эволюция идеи: Законы коэволюции сложных структур. – М.: Наука, 1998. – 225с. – (Кибернетика: неограниченные возможности и возможные ограничения).
  19. Стёпин В.С. Человек. Деятельность. Культура. – СПб.: СПбГУП, 2018. – 800с.
  20. Странные аттракторы/ Ред. Я.Г.Синай, Л.П.Шильников. – М.: Мир, 1981. – 256 с.
  21. Человек. Наука. Цивилизация. К семидесятилетию академика В.С. Степина. – М.: Kanon+, 2004. – 816с.
  22. Burtsev M., Turchin P. Evolution of cooperative strategies from first principles// Nature. 2006. V.440, p.1041-1044.

Рисунки

 

Рис. 1. Сравнение законов роста народонаселения

 

Рис. 2. Численность (тыс.) стратегий ворона, кооперирующегося голубя и скворца для одной из реализаций численного эксперимента (млн. шагов). Вороны – пунктир, кооперирующиеся голуби – точки, скворцы – сплошная линия

 

Harmony, evolution, applied mathematics and interdisciplinary approaches

V.E.Voitsekhovich, I.N.Volnov, G.G.Malineckiy

 

 



[1][1] Создатель современной алгебры Виет был криптографом короля Генриха IV во Франции.

комментарии - 0
Мой комментарий
captcha